本題滿(mǎn)分16分）兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，滿(mǎn)足數(shù)學(xué)公式．★（參考公式數(shù)學(xué)公式）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

證明：∵，∴bn+1=，
∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②減去①可得 bn+1-bn=（n+1）an+1．
兩邊同時(shí)除以n+1可得 bn+1-bn=an+1 ③，
∴bn-bn-1=an ④．
③減去④可得 an+1 -an=（ bn+1 - bn ）-（ bn -bn-1 ）
=bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+ bn-1-bn-1
=（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）+ （bn-bn-1）-（bn-bn-1）
=（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1）．
由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常數(shù)d，
此時(shí)an+1 -an=d+-=，是個(gè)常數(shù)．
故：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．
分析：由條件可得 bn+1-bn=an+1 ，bn-bn-1=an，相減可得 an+1 -an═（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1），由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常數(shù)d，此時(shí)an+1 -an=d+-=，是個(gè)常數(shù)，從而結(jié)論成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法和綜合法證明數(shù)學(xué)命題，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題滿(mǎn)分16分）兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，滿(mǎn)足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011年江蘇省如皋市高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) 題型：解答題

(本題滿(mǎn)分16分)

設(shè)為實(shí)數(shù)，且

    （1）求方程的解；

（2）若，滿(mǎn)足，試寫(xiě)出與的等量關(guān)系（至少寫(xiě)出兩個(gè)）；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，證明在這一關(guān)系中存在滿(mǎn)足.

 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

本題滿(mǎn)分16分）兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，滿(mǎn)足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年江蘇省宿遷市泗陽(yáng)中學(xué)高二（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

本題滿(mǎn)分16分）兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}，滿(mǎn)足．★（參考公式）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案