本題滿分16分）兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足．★（參考公式）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．
【答案】分析：由條件可得 bn+1-bn=an+1 ，bn-bn-1=an，相減可得 an+1 -an═（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1），由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常數(shù)d，此時an+1 -an=d+-=，是個常數(shù)，從而結(jié)論成立．
解答：證明：∵，∴bn+1=，
∴bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①，
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+（n+1）an+1．②
②減去①可得 bn+1-bn=（n+1）an+1．
兩邊同時除以n+1可得 bn+1-bn=an+1 ③，
∴bn-bn-1=an  ④．
③減去④可得 an+1 -an=（  bn+1 - bn ）-（ bn -bn-1 ）
=bn+1 +bn+1 -bn-bn-bn+ bn-1-bn-1 
=（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）+ （bn-bn-1）-（bn-bn-1）
=（bn+1-bn ）+（bn+1-bn ）-（bn-bn-1）．
由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常數(shù)d，
此時an+1 -an=d+-=，是個常數(shù)．
故：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．
點評：本題主要考查用分析法和綜合法證明數(shù)學命題，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

本題滿分16分）兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年江蘇省如皋市高一上學期期中考試數(shù)學 題型：解答題

(本題滿分16分)

設(shè)為實數(shù)，且

    （1）求方程的解；

（2）若，滿足，試寫出與的等量關(guān)系（至少寫出兩個）；

（3）在（2）的基礎(chǔ)上，證明在這一關(guān)系中存在滿足.

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

本題滿分16分）兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足數(shù)學公式．★（參考公式數(shù)學公式）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

本題滿分16分）兩個數(shù)列{an}，{bn}，滿足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
．★（參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
求證：{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列．

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