Question

點(diǎn)A、B分別是橢圓+=1長軸的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)．點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
（1）求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出PA、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)，求出、的坐標(biāo)，由題意可得，且y＞0，
解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）求出直線AP的方程，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的
距離d的平方得解析式，配方求得最小值．
解答：解：（1）由已知可得點(diǎn)A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則=（x+6，y），=（x-4，y）．
由已知可得，2x²+9x-18=0，解得x=，或x=-6．
由于y＞0，只能x=，于是y=．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，）．
（2）直線AP的方程是 ，即 x-y+6=0．  
設(shè)點(diǎn)M（m，0），則M到直線AP的距離是．
于是=|6-m|，又-6≤m≤6，解得m=2，故點(diǎn)M（2，0）．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，有 d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-x² =（x-）²+15，
∴當(dāng)x=時，d取得最小值．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，兩個向量垂直的性質(zhì)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是解題的難點(diǎn)．