Question

1．若函數(shù)f（x）=log₄（4^x+1）+kx（x∈R）是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-m=0在[0，1]有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）為偶函數(shù)，便可得到f（-1）=f（1），這樣即可求出k=$-\frac{1}{2}$；
（2）由題意可將f（x）變成f（x）=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，從而m=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，可設(shè)g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，通過求導(dǎo)可判斷函數(shù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，這樣便能求f（x）在[0，1]上的值域．而由前面知函數(shù)f（x）在[0，1]上的值域即為m的取值范圍，從而便可求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）是偶函數(shù)；
∴f（-1）=f（1）；
∴$lo{g}_{4}（{4}^{-1}+1）-k=lo{g}_{4}5+k$；
∴l(xiāng)og₄5-1-k=log₄5+k；
∴$k=-\frac{1}{2}$；
（2）x∈[0，1]，f（x）=$lo{g}_{4}（{4}^{x}+1）-\frac{1}{2}x$=$lo{g}_{4}（{4}^{x}+1）-lo{g}_{4}{4}^{（\frac{1}{2}x）}$=$lo{g}_{4}\frac{{4}^{x}+1}{{2}^{x}}=lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$；
∴由f（x）-m=0得m=$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$，設(shè)g（x）=${2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，g′（x）=ln2（${2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$）；
∵x∈[0，1]；
∴2^x∈[1，2]；
∴${2}^{x}＞\frac{1}{{2}^{x}}$；
∴g′（x）＞0；
∴g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴復(fù)合函數(shù)$lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）$在[0，1]上單調(diào)遞增；
∴$lo{g}_{4}2≤lo{g}_{4}（{2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}）≤lo{g}_{4}\frac{5}{2}$，$lo{g}_{4}2=lo{g}_{4}{4}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$；
∴$\frac{1}{2}≤m≤lo{g}_{4}\frac{5}{2}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，$lo{g}_{4}\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評 考查偶函數(shù)的定義，對數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，符合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法．