Question

圓C₁的方程為x²+y²=

4

25

，圓C₂的方程（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=

1

25

（θ∈R），過(guò)C₂上任意一點(diǎn)P作圓C₁的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N，則∠MPN的最大值為（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：首先判斷圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步利用特殊位置把結(jié)論轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題，最后求出∠MPN的最大值．

解答： 解：圓C₁的方程為x²+y²=

4

25

，圓心坐標(biāo)為：C₁（0，0）半徑r=

2

5

圓C₂的方程（x-cosθ）²+（y-sinθ）²=

1

25

，圓心坐標(biāo)為：C₂（cosθ，sinθ）半徑R=

1

5

由于cos²θ+sin²θ=1
|c₁c₂|＞R+r
所以兩圓相離．
過(guò)C₂上任意一點(diǎn)P作圓C₁的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M、N，則要求∠MPN的最大值
只需滿足：在圓c₂找到距離圓c₁最近點(diǎn)即可．
所以：如下圖所示：|PC₁|=1-

1

5

=

4

5

|MC₁|=

2

5

在Rt△MPC₁中，根據(jù)|PC₁|=

4

5

，|MC₁|=

2

5

解得：∠MPC1=

π

6

所以：∠MPN=

π

3

即∠MPN的最大值為：

π

3

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：圓于圓的位置關(guān)系，特殊位置出現(xiàn)相關(guān)的三角形知識(shí)，及角的最值問(wèn)題．