Question

19．已知a≥0，函數(shù)f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]是減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 首先，求導(dǎo)數(shù)，然后，令導(dǎo)數(shù)為非正數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)求解．

解答 解：∵f′（x）=[x²-2（a-1）x-2a]•e^x，
∵f（x）在[-1，1]上是單調(diào)減函數(shù)，
∴f′（x）≤0，x∈[-1，1]，
∴x²-2（a-1）x-2a≤0，x∈[-1，1]，
設(shè)g（x）=x²-2（a-1）x-2a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≤0}\\{g（1）≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+2（a-1）-2a≤0}\\{1-2（a-1）-2a≤0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤0}\\{4a≥3}\end{array}\right.$，
又a≥0，
∴a$≥\frac{3}{4}$，
即有a的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，常常利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．