【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界．已知函數(shù)．

（1）當時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以4為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】（1）不是，理由見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）當時，函數(shù)，換元后根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)值域為，故不存在；（2）依題意有，即，令換元后分離參數(shù)，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求得實數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當時，，令，∵，∴，；

∵在上單調(diào)遞增，∴，即在上的值域為，

故不存在常數(shù)，使成立．∴函數(shù)在上不是有界函數(shù)．…………………………6分

（2）由題意知，對恒成立，

即：，令，∵，∴．

∴對恒成立，∴，

設(shè)，，由，

由于在上遞增，在上遞減，

在上的最大值為，

在上的最小值為．

∴實數(shù)的取值范圍為．……………………12分

練習冊系列答案
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（2）規(guī)定85分以上（含85分）為優(yōu)秀廠家，若從該兩個區(qū)域各選一個優(yōu)秀廠家，求得分差距不超過5分的概率.

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（1）已知，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；

（2）對于（1）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實數(shù)的值．

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