Question

【題目】已知拋物線C：y=2x2 ， 直線l：y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線C于點N．
（1）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
（2）是否存在實數(shù)k使以AB為直徑的圓M經(jīng)過點N，若存在，求k的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0，

得x1+x2= ．

∵xN=xM= = ，∴N點的坐標(biāo)為（ ， ）．

∵y′=4x，∴y′| =k，

即拋物線在點N處的切線的斜率為k．

∵直線l：y=kx+2的斜率為k，

∴l(xiāng)∥AB

（2）解：假設(shè)存在實數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點N．

由于M是AB的中點，∴|MN|= |AB|．

由（1）知yM= （y1+y2）= （kx1+2+kx2+2）

= [k（x1+x2）+4]= （4+ ）=2+ ，

由MN⊥x軸，則|MN|=|yM﹣yN|=2+ ﹣ = ，

∵|AB|=

= =

由 =

∴k=±2，

則存在實數(shù)k=±2，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點N

【解析】（1）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，可得M，N的坐標(biāo)，再由y=2x2的導(dǎo)數(shù)，可得在點N處的切線斜率，由兩直線平行的條件即可得證；（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點N．由于M是AB的中點，則|MN|= |AB|，運用弦長公式計算化簡整理，即可求得k=±2，故存在實數(shù)k，使AB為直徑的圓M經(jīng)過點N．