【題目】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形，且.

（1）證明：直線平面；

（2）若四棱錐的體積為，是線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明，，推出平面；

（2）以為原點(diǎn)，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由（1）的結(jié)論知，平面，所以則向量與向量所成的角或其補(bǔ)角與直線與平面所成的角互余，計(jì)算結(jié)果即可.

（1），且，，

又為正三角形，所以，

又，，所以，又，//，

，，所以平面.

（2）設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，依題可得，以為原點(diǎn)，直線、分別為軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出各點(diǎn)的坐標(biāo)和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一個(gè)法向量，則向量與向量所成的角或其補(bǔ)角與直線與平面所成的角互余.

則，，，，則，設(shè)，

由，，可得，解得，，

即，

所以，又由（1）可知，是平面的一個(gè)法向量，

∴，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐P﹣ABCD 中，△PAD 為等邊三角形，底面ABCD為等腰梯形，滿足AB∥CD，AD＝DCAB＝2，且平面PAD⊥平面ABCD．

（1）證明：BD⊥平面PAD

（2）求點(diǎn)C到平面PBD的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝|x﹣1|，關(guān)于x的不等式f（x）＜3﹣|2x+1|的解集記為A．

（1）求A；

（2）已知a，b∈A，求證：f（ab）＞f（a）﹣f（b）．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝2，AC＝4，AA1＝3，D是BC的中點(diǎn)．

(1) 求直線DC1與平面A1B1D所成角的正弦值；

(2) 求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠每日生產(chǎn)某種產(chǎn)品噸，當(dāng)日生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)日銷售完畢，當(dāng)時(shí)，每日的銷售額（單位：萬元）與當(dāng)日的產(chǎn)量滿足，當(dāng)日產(chǎn)量超過20噸時(shí)，銷售額只能保持日產(chǎn)量20噸時(shí)的狀況.已知日產(chǎn)量為2噸時(shí)銷售額為4.5萬元，日產(chǎn)量為4噸時(shí)銷售額為8萬元.

（1）把每日銷售額表示為日產(chǎn)量的函數(shù)；

（2）若每日的生產(chǎn)成本（單位：萬元），當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤可以達(dá)到最大？并求出最大值.

（注：計(jì)算時(shí)取，）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，.

（1）證明：是等比數(shù)列；

（2）若，中是否存在連續(xù)三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出這三項(xiàng)，若不存在，請說明理由；

（3）若是遞減數(shù)列，求的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

有時(shí)可用函數(shù)

描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度，其中x表示某學(xué)科知識的學(xué)習(xí)次數(shù)（），表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實(shí)數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).

（1） 證明：當(dāng)時(shí)，掌握程度的增加量總是下降；

（2） 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為,,

.當(dāng)學(xué)習(xí)某學(xué)科知識6次時(shí)，掌握程度是85%，請確定相應(yīng)的學(xué)科.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】秉承提升學(xué)生核心素養(yǎng)的理念，學(xué)校開設(shè)以提升學(xué)生跨文化素養(yǎng)為核心的多元文化融合課程.選某藝術(shù)課程的學(xué)生唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有人，會(huì)跳舞的有人，現(xiàn)從中選人，設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且

(1)求選該藝術(shù)課程的學(xué)生人數(shù);

(2)寫出的概率分布列并計(jì)算.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，分別過橢圓左、右焦點(diǎn)的動(dòng)直線相交于點(diǎn)，與橢圓分別交于與不同四點(diǎn)，直線的斜率滿足, 已知與軸重合時(shí), .

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在定點(diǎn)使得為定值，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)并求出此定值，若不存在，

說明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案