Question

如圖，PD⊥平面ABC，AC=BC，D為AB的中點，E為AP的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：AB⊥PC．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由中位線定理，得到DE∥BP，再由線面平行的判定定理即可得到；
（Ⅱ）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，再運用等腰三角形的三線合一，再由線面垂直的判定定理即可得證．

解答： 證明：（Ⅰ）∵在△ABP中，D為AB的中點，E為AP的中點，
∴DE∥BP，
∵DE?平面PBC，BP?平面PBC，
∴DE∥平面PBC；
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PD⊥AB，
∵在△ABC中，AC=BC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，
∵PD∩CD=D，
∴AB⊥平面PCD，
∵PC?平面PCD，
∴AB⊥PC．

點評：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵，同時注意解題的規(guī)范．