數(shù)列{an}滿足遞推式an=3an-1+3n-1(n≥2),其中a4=365,
(Ⅰ)求a1,a2,a3;  
(Ⅱ)若存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得{
an3n
}
為等差數(shù)列,求λ值;
(Ⅲ)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和.
分析:(Ⅰ)因?yàn)閿?shù)列{an}滿足遞推式an=3an-1+3n-1(n≥2),且a4=365,所以利用遞推式,
由a4求a3,由a3求a2,由a2求a1,
(Ⅱ)由{
an
3n
}
為等差數(shù)列,以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看成是n的一次函數(shù),所以可設(shè)
an
3n
=xn+y

解出an,再根據(jù)(Ⅰ)中所求a1,a2,a3的值解出x,y,λ即可.
(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)中所求出的an,利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和.
解答:解:(Ⅰ)由an=3an-1+3n-1,及a4=365知a4=3a3+34-1=365,則a3=95
同理求得a2=23,a1=5
(Ⅱ)∵{
an
3n
}為一個(gè)等差數(shù)列,于是設(shè)
an
3n
=xn+y

∴an=(xn+y)•3n-λ,又由a1=5,a2=23,a3=95
5=a1=(x+y)•3-λ
23=a2=(2x+y)•9-λ
95=a3=(3x+y)•27-λ
 &求得λ=-
1
2
,x=1,y=
1
2

an=(n+
1
2
)•3n+
1
2
,而an=(n+
1
2
)•3n+
1
2
滿足遞推式

因此λ=-
1
2

(Ⅲ)∵an=(n+
1
2
)•3n+
1
2
先求bn=(n+
1
2
)•3n的前n項(xiàng)和

記Tn=(1+
1
2
)•31+(2+
1
2
)•32+…+(n+
1
2
)•3n

則3Tn=(1+
1
2
)•32+(2+
1
2
)•33+…+(n+
1
2
)•3n+1

由上兩式相減
Tn-3Tn=(1+
1
2
)3+32+33+…+3n-(n+
1
2
)•3n+1

-2Tn=
9
2
+
32-3n+1
1-3
-(n+
1
2
)•3n+1=
9
2
+
1
2
(3n+1-9)-(n+
1
2
)•3n+1

=-n•3n+1
Tn=
1
2
n•3n+1

因此{(lán)an}•前n項(xiàng)和為Tn+
n
2
=
n
2
3n+1+
n
2
=
n
2
(3n+1+1)
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,以及錯(cuò)位相見求數(shù)列的和,做題時(shí)要善于觀察,找到規(guī)律.
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2
-1)|<
1
2n
(n≥3,n∈N);
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1
an
,求證:|bn-(
2
+1)|<
12
2n
(n≥3,n∈N).

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11

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an3n
}
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1
2
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1
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;
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n
k=1
1
ak
<n-1

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