Question

已知(

5π

12

，0)是函數f(x)=(asinx+cosx)cosx-

1

2

圖象的一個對稱點．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）作出函數f（x）在x∈[0，π]上的圖象簡圖．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式化簡，通過對稱點，直接求出a的值．
（Ⅱ）借助（Ⅰ）化簡函數的表達式，然后分別令

x

2

+

π

6

取

π

6

，

π

2

，π，

3π

2

，

13π

6

，并求出對應的（x，f（x））點，描點后即可得到函數在x∈[0，π]的圖象．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=(asinx+cosx)cosx-

1

2

=asinxcosx+cos2x-

1

2

=

a

2

sin2x+

1

2

cos2x，
因為(

5π

12

，0)是函數f(x)=(asinx+cosx)cosx-

1

2

圖象的一個對稱點，
所以

a

2

sin(2×

5π

12

)+

1

2

cos(2×

5π

12

)=0，

a

2

×

1

2

-

1

2

×

3

2

=0，解得，a=

3

．
（Ⅱ）函數f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin（2x+

π

6

）．
列表：

x	0	π 6	5π 12	2π 3	π
2x+ π 6	π 6	π 2	π	3π 2	13π 6
y=sin（2x+ π 6 ）	1 2	1	0	-1	1 2

畫簡圖

點評：本題考查的知識點是五點法作函數y=Asin（ωx+φ）的圖象，函數解析式的求法，其中正弦型函數的圖象的畫法，性質是三角函數的重點內容之一，一定注意掌握．