Question

2．在△ABC中，∠B=90°，D、E兩點在AB上，且AD=2BE，∠ACD=∠BCE，求線段BE，DE與CE的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 借助于三角函數(shù)的定義構(gòu)造出關(guān)于線段BE，DE，CE的關(guān)系式．

解答 解：由題意作圖如下：
因為∠ACD=∠ACB-∠DCB，且由已知得$CB=\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}$，
所以$tan∠BCE=\frac{BE}{CB}=\frac{BE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$①，

tan∠DCB=$\frac{DE+EB}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$，tan∠ACB=$\frac{3EB+DE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$．
所以tan∠ACD=tan（∠ACB-∠DCB）=$\frac{tan∠ACB-tan∠DCB}{1+tan∠ACB•tan∠DCB}$
=$\frac{\frac{3EB+DE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}-\frac{DE+EB}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}}{1+\frac{（3EB+DE）（DE+EB）}{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$②．由題意①=②．
代入得：$\frac{\frac{2EB}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}}{\frac{C{E}^{2}-E{B}^{2}+3E{B}^{2}+D{E}^{2}+4EB•DE}{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$=$\frac{BE}{\sqrt{C{E}^{2}-E{B}^{2}}}$．
化簡得CE²-（EB+DE）²=0，所以CE=EB+DE即為所求．

點評 本題考查了三角函數(shù)的定義、兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．