Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD、PC的中點(diǎn)，求證：

(1)PA⊥底面ABCD；

(2)BE∥平面PAD；

(3)平面BEF⊥平面PCD.

Answer 1

[解析]　(1)因?yàn)槠矫?i>PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，

所以PA⊥底面ABCD.

(2)因?yàn)?i>AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四邊形ABED為平行四邊形．

所以BE∥AD.

又因?yàn)?i>BE平面PAD，AD平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

(3)因?yàn)?i>AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由(1)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.

因?yàn)?i>E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，

所以PD∥EF.所以CD⊥EF，

又因?yàn)?i>CD⊥BE，BE∩EF＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.