【題目】在無窮數(shù)列中,是給定的正整數(shù),,

(Ⅰ)若,寫出的值;

(Ⅱ)證明:數(shù)列中存在值為的項;

(Ⅲ)證明:若互質(zhì),則數(shù)列中必有無窮多項為

【答案】(Ⅰ);()詳見解析;()詳見解析.

【解析】

I)根據(jù)以及的值,由此求得的值,找出規(guī)律,求得的值.II)利用反證法,先假設(shè),利用遞推關(guān)系找出規(guī)律,推出矛盾,由此證明原命題成立.III)首先利用反證法證明數(shù)列中必有“1”項,其次證明數(shù)列中必有無窮多項為“1”,由此證得原命題成立.

解:(I),以及,可知,,從開始,規(guī)律為兩個和一個,周期為,重復(fù)出現(xiàn),故.

(II)反證法:假設(shè),由于

..

,,

,,,

依次遞推,有…,

當(dāng)時,矛盾.

故存在,使

所以,數(shù)列必在有限項后出現(xiàn)值為的項.

(III)首先證明:數(shù)列中必有“1”項.用反證法,

假設(shè)數(shù)列中沒有“1”項,由(II)知,數(shù)列中必有“0”項,設(shè)第一個“0”項是 ,令,,則必有,

于是,由,則,因此的因數(shù),

,則,因此的因數(shù).

依次遞推,可得的因數(shù),因?yàn)?/span>,所以這與互質(zhì)矛盾.所以,數(shù)列中必有“1”項.

其次證明數(shù)列中必有無窮多項為“1”.

假設(shè)數(shù)列中的第一個“1”項是,令,

,則數(shù)列中的項從開始,依次為“1,1,0”的無限循環(huán),

故有無窮多項為1;

,則

,則進(jìn)入“1,1,0”的無限循環(huán),有無窮多項為1;

,則從開始的項依次為,

必出現(xiàn)連續(xù)兩個“1”項,從而進(jìn)入“1,1,0”的無限循環(huán),故必有無窮多項為1.

練習(xí)冊系列答案
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