【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2﹣alnx﹣(a﹣2)x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1 , x2(1)求滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)a的值;
(Ⅲ)求證: .
【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=2x﹣(a﹣2)﹣ = ,(x>0). 當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),此時(shí)f(x)無(wú)單調(diào)減區(qū)間;
當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)>0,得 ,f′(x)<0,得 ,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為( ,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0, );
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可知函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以a>0,
f(x)的最小值f( )<0,即﹣a2+4a﹣4aln <0,
∵a>0,∴ ,
令 ,顯然h(a)在(0,+∞)上為增函數(shù),
且
∴存在a0∈(2,3),h(a0)=0,
當(dāng)a>a0時(shí),h(a)>0;當(dāng)0<a<a0時(shí),h(a)<0,
所以滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)a=3.
又當(dāng)a=3時(shí),f(3)=3(2﹣ln3)>0, = <0,f(1)=0,
所以a=3時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).
綜上所述,滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)a的值為3.
(Ⅲ)證明:不妨設(shè)0<x1<x2 ,
于是 ﹣alnx1= ﹣alnx2 ,
∴a= .,
因?yàn)? =0,當(dāng)x∈ 時(shí),f′(x)<0;當(dāng)x∈ 時(shí),f′(x)>0.
故只要證 即可,即證明x1+x2> .,
即證 +(x1+x2)(lnx1﹣lnx2)> ﹣ ﹣2x2 .
也就是證 < .
設(shè) =t∈(0,1).
令m(t)=lnt﹣ ,則m′(t)= ﹣ = .
∵t>0,所以m'(t)≥0,
當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),m'(t)=0,所以m(t)在(0,+∞)上是增函數(shù).
又m(1)=0,所以當(dāng)m∈(0,1),m(t)<0總成立,所以原題得證
【解析】(Ⅰ)f′(x)=2x﹣(a﹣2)﹣ = ,(x>0).對(duì)a分類(lèi)討論:a≤0,a>0,即可得出單調(diào)性.(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)可知函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),所以a>0,f(x)的最小值f( )<0,即﹣a2+4a﹣4aln <0,可得 ,令 ,顯然h(a)在(0,+∞)上為增函數(shù),且 ,因此存在a0∈(2,3),h(a0)=0,進(jìn)而得出小正整數(shù)a的值.(Ⅲ)不妨設(shè)0<x1<x2 , 于是 ﹣alnx1= ﹣alnx2 , 可得a= .由于 =0,當(dāng)x∈ 時(shí),f′(x)>0.只要證 即可,即證明x1+x2> ,即證 < .設(shè) =t∈(0,1).令m(t)=lnt﹣ ,利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了比較注射兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做試驗(yàn),將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組,毎組100只,其中一組注射藥物,另一組注射藥物.
(1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同組的概率;
(2)下表1和表2分別是注射藥物和后的試驗(yàn)結(jié)果.(皰疹面積單位: )
表1:注射藥物后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
表2:注射藥物后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表
(ⅰ)完成下面頻率分布直方圖,并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小;
(ⅱ)完成下面列聯(lián)表,并回答能否有的把握認(rèn)為“注射藥物后的皰疹面積與注射藥物后的皰疹面積有差異”.
表3:
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是邊長(zhǎng)為的正方形,平面,,,與平面所成角為.
(Ⅰ)求證:平面.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得平面,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,且過(guò)點(diǎn), , 是橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線(xiàn): ,且,垂足為, ,垂足為,若,且的面積是面積的5倍,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】交強(qiáng)險(xiǎn)是車(chē)主必須為機(jī)動(dòng)車(chē)購(gòu)買(mǎi)的險(xiǎn)種.若普通6座以下私家車(chē)投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi))統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時(shí),實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制,保費(fèi)與上一年度車(chē)輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費(fèi)率也就越高,具體浮動(dòng)情況如表:
交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表 | ||
浮動(dòng)因素 | 浮動(dòng)比率 | |
A1 | 上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮10% |
A2 | 上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮20% |
A3 | 上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故 | 下浮30% |
A4 | 上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% |
A5 | 上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故 | 上浮10% |
A6 | 上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車(chē)的投保情況,隨機(jī)抽取了60輛車(chē)齡已滿(mǎn)三年的該品牌同型號(hào)私家車(chē)的下一年續(xù)保時(shí)的情況,統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格:
類(lèi)型 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 |
數(shù)量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以這60輛該品牌車(chē)的投保類(lèi)型的頻率代替一輛車(chē)投保類(lèi)型的概率,完成下列問(wèn)題:
(Ⅰ)按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車(chē)交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車(chē)交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定a=950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車(chē)在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字)
(Ⅱ)某二手車(chē)銷(xiāo)售商專(zhuān)門(mén)銷(xiāo)售這一品牌的二手車(chē),且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車(chē)輛記為事故車(chē).假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車(chē)虧損5000元,一輛非事故車(chē)盈利10000元:
①若該銷(xiāo)售商購(gòu)進(jìn)三輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē),求這三輛車(chē)中至多有一輛事故車(chē)的概率;
②若該銷(xiāo)售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車(chē)齡已滿(mǎn)三年)該品牌二手車(chē),求他獲得利潤(rùn)的期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為a的菱形ABCD中,,E,F是PA和AB的中點(diǎn)。
(1)求證: EF||平面PBC ;
(2)求E到平面PBC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1, ),其離心率e= .
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相切,切點(diǎn)為T(mén),且l與直線(xiàn)x=﹣4相交于點(diǎn)S.
試問(wèn):在x軸上是否存在一定點(diǎn),使得以ST為直徑的圓恒過(guò)該定點(diǎn)?若存在,求出該點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a1=1,an+1= 若S3n≤λ3n﹣1恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為 .
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