Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線M的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=1$，曲線N的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．若曲線M與N相交于A，B兩點，則線段AB的長等于8．

Answer 1

分析 把極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、普通方程，把方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式即可得出．

解答 解：曲線M的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）=1$，展開為$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ）=1，∴x-y=1．
曲線N的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=4{t}^{2}}\\{y=4t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得：y²=4x．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x-y=1}\end{array}\right.$，化為y²-4y-4=0，
∴y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=$\sqrt{2（{4}^{2}+4×4）}$=8．
故答案為：8．

點評 本題考查了直線與拋物線的極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程、普通方程、直線與拋物線成績問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．