Question

10．若函數(shù)f（x）=x²|x-a|在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤0或a≥3．

Answer 1

分析 寫(xiě)出分段函數(shù)f（x），然后分別利用導(dǎo)函數(shù)在[0，2]上大于等于0求解a的取值范圍．

解答 解：f（x）=x²|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}-a{x}^{2}，x≥a}\\{-{x}^{3}+a{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x³-ax²，f′（x）=3x²-2ax，
要使f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤x}\\{3{x}^{2}-2ax≥0}\end{array}\right.$在[0，2]上恒成立，
由a≤x在[0，2]上恒成立，得a≤0；
對(duì)于3x²-2ax≥0，即2ax≤3x²，x=0時(shí)對(duì)任意a都成立，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，$a≤\frac{3}{2}x$在[0，2]上恒成立，得a≤0；
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=-x³+ax²，f′（x）=-3x²+2ax，
要使f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，則$\left\{\begin{array}{l}{a＞x}\\{-3{x}^{2}+2ax≥0}\end{array}\right.$在[0，2]上恒成立，
由a＞x在[0，2]上恒成立，得a＞2；
對(duì)于-3x²+2ax≥0，x=0時(shí)對(duì)任意a都成立，當(dāng)x∈（0，2]時(shí)，$a≥\frac{3}{2}x$在[0，2]上恒成立，得a≥3，
∴當(dāng)x＜a時(shí)，滿足f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增的a≥3．
綜上，使函數(shù)f（x）=x²|x-a|在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增的實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤0或a≥3．
故答案為：a≤0或a≥3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，著重考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．