Question

9．已知向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$．
（1）求|$\overrightarrow$|；
（2）求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$在$\overrightarrow$方向上的投影．

Answer 1

分析 （1）把|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$兩邊平方可得|$\overrightarrow$|的方程，解方程可得；
（2）由（1）可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$的值，而2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$在$\overrightarrow$方向上的投影為$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$，代值計(jì)算可得．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為120°，|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{13}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=13，∴9+2×$3×|\overrightarrow|$×cos120°+|$\overrightarrow$|²=13，
整理可得|$\overrightarrow$|²-3|$\overrightarrow$|-4=0，
解得|$\overrightarrow$|=4，或|$\overrightarrow$|=-1（舍去）；
（2）由（1）可得（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$-${\overrightarrow}^{2}$
=2×$3×4×（-\frac{1}{2}）$-16=-28，
∴2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$在$\overrightarrow$方向上的投影為|2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|cos＜2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞
=$\frac{（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow|}$=$\frac{-28}{4}$=-7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的投影，涉及向量的數(shù)量積和模長(zhǎng)公式，屬中檔題．