已知直線l1:mx-y=0,l2:x+my-m-2=0
(1)求證:直線l2恒過定點(diǎn),并求定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求證:對m的任意實數(shù)值,l1和l2的交點(diǎn)M總在一個定圓上;
(3)若l1與定圓的另一個交點(diǎn)為P1,l2與定圓的另一個交點(diǎn)為P2,求當(dāng)實數(shù)m取值變化時,△MP1P2面積取得最大值時,直線l1的方程.
分析:(1)對于任意實數(shù)m,l2:x+my-m-2=0恒過定點(diǎn),則與m的取值無關(guān),轉(zhuǎn)化為(x-2)+m(y-1)=0讓m的系數(shù)為零、x-2=0即可得到直線l2恒過定點(diǎn),以及定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)聯(lián)立兩條直線方程,消去m,即得到l1和l2的交點(diǎn)M的方程,判斷M總在一個定圓上即可;
(3)通過l1與定圓的另一個交點(diǎn)為P1,l2與定圓的另一個交點(diǎn)為P2,利用(2)說明P1P2是圓C的直徑,
當(dāng)且僅當(dāng)圓心C(1,
1
2
)到l1的距離等于C到l2的距離時,△MP1P2面積取得最大值,利用點(diǎn)到直線的距離公式列出m的關(guān)系式,求出m即可得到直線l1的方程.
解答:解:(1)方程l2:x+my-m-2=0可化為(x-2)+m(y-1)=0
∵對于任意實數(shù)m直線l2:x+my-m-2=0 恒過定點(diǎn)
x-2=0
y-1=0

∴故定點(diǎn)坐標(biāo)是(2,1).
(2)由題意可得
mx-y=0
x+my-m-2=0
,消去m可得x2+y2-2x-y=0,方程表示圓,即M總在一個定圓上.
(3)由圓C的方程以及直線l1,l2的方程可知,直線l1恒過(0,0)點(diǎn),
直線l2恒過(2,1)點(diǎn),也在圓C上,
故直線l1,l2的與圓C的另一個交點(diǎn)P1(0,0),P2(2,1),P1P2是圓C的直徑,
當(dāng)且僅當(dāng)圓心C(1,
1
2
)到l1的距離等于C到l2的距離時,△MP1P2面積取得最大值,
所以
|m-
1
2
|
m2+1
=
|
1
2
m+1|
m2+1
,所以m=3或m=-
1
3
,
所以直線l1:3x-y=0或x+3y=0.
點(diǎn)評:本題通過恒過定點(diǎn)問題來考查學(xué)生方程轉(zhuǎn)化的能力及直線系的理解,曲線軌跡方程的求法,三角形的面積的最值的判斷,考查計算能力,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.
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5
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