Question

18．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁•a₂•a₃…a_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{_{n}}$（n∈N^*）．若{a_n}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=2，b₃=6+b₂，求b_n=n（n+1）．

Answer 1

分析 由已知式子易得等比數(shù)列{a_n}的公比q=2，進而由已知等式和指數(shù)的運算可得．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₁•a₂•a₃…a_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{_{n}}$（n∈N^*）．，
∴a₁•a₂•a₃=$（\sqrt{2}）^{_{3}}$，∴a₁³q³=8q³=$（\sqrt{2}）^{_{3}}$，
同理可得a₁•a₂=$（\sqrt{2}）^{_{2}}$，∴a₁²q=4q=$（\sqrt{2}）^{_{2}}$，
又b₃=6+b₂，∴8q³=$（\sqrt{2}）^{6+_{2}}$=$（\sqrt{2}）^{6}$×$（\sqrt{2}）^{_{2}}$=8×4q，
解得q=2或q=-2，
∵a₁•a₂=$（\sqrt{2}）^{_{2}}$＞0，∴q=2，
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ，又a₁•a₂•a₃…a_n=（$\sqrt{2}$）${\;}^{_{n}}$（n∈N^*），
∴2ⁿ•${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$=${2}^{\frac{_{n}}{2}}$，∴b_n=n（n+1），
故答案為：n（n+1）

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式，涉及分類討論和指數(shù)的運算，屬中檔題．