Question

如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，VA⊥平面ABC．
（1）求異面直線DE與AB所成的角；
（2）證明：DE⊥平面VAC．
（3）若AB=

2

VA，求二面角A-BC-D的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)異面直線DE與AB所成的角的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明DE⊥平面VAC．
（3）求出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系，即可求二面角A-BC-D的大�。�

解答： 證明：（Ⅰ）因?yàn)镈，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，
所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE
與AB所成的角．            
又因?yàn)锳B是圓O的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．
故異面直線DE與AB所成的角為45°．
（Ⅱ）因?yàn)閂A⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
所以BC⊥VA．
由（Ⅰ）知，BC⊥AC，
所以BC⊥平面VAC．         
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，
故DE⊥平面VAC．  
（ III）由（Ⅱ）知，BC⊥VA，BC⊥AC，
則∠ACV為所求二面角的平面角．
又AB=

2

VA，
則VA=AC，故∠ACV=45°

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線和平面垂直的判斷，以及空間二面角和直線和異面直線所成角計(jì)算，考查學(xué)生的推理能力．