【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)fx)且滿足f1+x=-f3-x),且f1)≠0,若函數(shù)gx=x6+f1cos4x-3有且只有唯一的零點(diǎn),則f2018+f2019=( 。

A. 1 B. C. D. 3

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意,由f(1+x)=-f(3-x)變形可得f(x)=-f(4-x),由函數(shù)的奇偶性可得f(x)=-f(-x),綜合可得-f(-x)=-f(4-x),即f(x)=f(x+4),即函數(shù)f(x)為周期為4的周期函數(shù),據(jù)此可得f(2)=f(-2),且f(-2)=-f(2),分析可得f(2)=-f(-2)=0;對于g(x)=x6+f(1)cos4x-3,由函數(shù)奇偶性的定義可得函數(shù)g(x)為偶函數(shù),結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)分析可得g(0)=f(1)-3=0,則f(1)=3,結(jié)合f(x)的周期性可得f(2018)與f(2019)的值,相加即可得答案.

根據(jù)題意,函數(shù)f(x)且滿足f(1+x)=-f(3-x),則有f(x)=-f(4-x),

又由f(x)為奇函數(shù),則有f(x)=-f(-x),

則有-f(-x)=-f(4-x),即f(x)=f(x+4),

即函數(shù)f(x)為周期為4的周期函數(shù),

則有f(2)=f(-2),且f(-2)=-f(2),

分析可得f(2)=-f(-2)=0,

對于g(x)=x6+f(1)cos4x-3,

有g(shù)(-x)=(-x)6+f(1)cos4(-x)-3=x6+f(1)cos4x-3=g(x),

即函數(shù)g(x)為偶函數(shù),

若函數(shù)g(x)=x6+f(1)cos4x-3有且只有唯一的零點(diǎn),

則必有g(shù)(0)=f(1)-3=0,則f(1)=3,

f(2018)=f(2+2016)=f(2)=0,

f(2019)=f(3+2016)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-3,

則f(2018)+f(2019)=-3;

故選:C.

練習(xí)冊系列答案
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A. B. C. D.

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A.
B.
C.
D.

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A. B. C. D.

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1)求證:

2)若函數(shù)的圖象與直線沒有交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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車間

A

B

C

數(shù)量

50

150

100

(1)求這6件樣品中來自A、B、C各車間產(chǎn)品的數(shù)量;
(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件進(jìn)行進(jìn)一步檢測,求這2件商品來自相同車間的概率.

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1)證明:當(dāng)a3時(shí),fx)在R上是減函數(shù);

2)若函數(shù)fx)存在兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

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