Question

如圖所示，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝

(Ⅰ)求證：AO⊥平面BCD．

(Ⅱ)求異面直線AB與CD所成角的大小．

(Ⅲ)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：連結(jié)OC． 　　∵BO＝DO，AB＝AD，∴AO⊥BD． 　　∵BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD． 　　在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝． 　　而AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2．∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC． 　　又BD∩OC＝0，∴AB⊥平面BCD． 　　(Ⅱ)取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知ME∥AB，OE∥DC． 　　∴直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角． 在△OME中， 　　EM＝AB＝，OE＝DC＝1， 　　∵OM是Rt△AOC斜邊AC上的中線，∴OM＝AC＝1，∴cos∠OEA＝， 　∴異面直線AB與CD所成角的大小為arccos． 　　(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h． 　　∵VE－ACD＝VA－CDE， 　　∴h·S△ACD＝AO·S△CDE．在△ACD中，CA＝CD＝2，AD＝， 　　∴S△ACD＝××， 　　而AO＝1，S△CDE＝××22＝，∴h＝， 　　∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為．

提示：

本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．