Question

8．設點P在直線y=x上，點Q在曲線y=lnx上，則|PQ|最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$-1
• D． ln2

Answer 1

分析 設平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=lnx相切，則兩平行線間的距離即為|PQ|的最小值，由導數(shù)和切線的關系由距離公式可得．

解答 解：設平行于直線y=x的直線y=x+b與曲線y=lnx相切，
則兩平行線間的距離即為|PQ|的最小值，
設直線y=x+b與曲線y=lnx的切點為（m，lnm），
則由切點還在直線y=x+b可得lnm=m+b，
由切線斜率等于切點的導數(shù)值可得$\frac{1}{m}$=1，
聯(lián)立解得m=1，b=-1，
∴由平行線間的距離公式可得|PQ|的最小值為$\frac{|-1-0|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故選：A．

點評 本題考查導數(shù)和平行線間的距離公式，等價轉化是解決問題的關鍵，屬基礎題．