Question

已知橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段垂直平分線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（3）設(shè)第（2）問(wèn)中的與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)在上，且滿足,求的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）（3）

【解析】

試題分析：（1）雙曲線的離心率為，所以橢圓的離心率為。根據(jù)題意原點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?/span>可解得。（2）由題意知即點(diǎn)到直線，和到點(diǎn)的距離相等，根據(jù)橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)以直線為準(zhǔn)線的拋物線。（3）由的方程為知設(shè)，根據(jù)得出的關(guān)系，用兩點(diǎn)間距離求，再用配方法求最值。

試題解析：解（1）易知：雙曲線的離心率為，，

即 ， 1分

又由題意知：， 2分

橢圓的方程為. 3分

（2）

動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離等于它到定點(diǎn)的距離 5分

動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線， 6分

點(diǎn)的軌跡的方程為. 7分

（3）由（2）知：,設(shè)，

則， 8分

， 9分

由，左式可化簡(jiǎn)為：， 10分

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)， 11分

又，

當(dāng)，即時(shí)，， 13分

故的取值范圍是. 14分

考點(diǎn)：1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2拋物線的定義；3函數(shù)值域。