Question

【題目】設(shè)函數(shù)f(x)＝ex－ax－2.

（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a＝1，k為整數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）.

【解析】

試題分析：（1）求導(dǎo)得，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令得，所以函數(shù)上遞減，上遞增；（2）當(dāng)時(shí)，原不等式分離參數(shù)后為，利用導(dǎo)數(shù)右邊函數(shù)最小值為，所以的最大值為.

試題解析：

(1)f(x)的定義域?yàn)?－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.

若a≤0，則f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增．

若a>0，則當(dāng)x∈(－∞，ln a)時(shí)，f′(x)<0；

當(dāng)x∈(ln a，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.

所以，f(x)在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增．

(2)由于a＝1時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1＝(x－k)(ex－1)＋x＋1.

故當(dāng)x>0時(shí)，(x－k)f′(x)＋x＋1>0等價(jià)于

k<＋x(x>0)①

令g(x)＝＋x，則g′(x)＝＋1＝.

由(1)知，函數(shù)h(x)＝ex－x－2在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

又h(1)＝e－3<0，h(2)＝e2－4>0.

所以h(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點(diǎn)．

故g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一零點(diǎn)．

設(shè)此零點(diǎn)為α，則α∈(1,2)．

當(dāng)x∈(0，α)時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x∈(α，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值為g(α)．

又由g′(α)＝0，得eα＝α＋2, 所以g(α)＝α＋1∈(2,3)．

由于①式等價(jià)于k<g(α)，

故整數(shù)k的最大值為2.