Question

18．如圖⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點，過A點的直線分別與⊙O₁、⊙O₂相文于C、D兩點，以C、D為切點分別作兩圓的切線相交于點E．
（Ⅰ）若EA的延長線與⊙O₁交于點M，證明切割線定理：EC²=EA•EM
（Ⅱ）證明：E、C、B、D四點共圓．

Answer 1

分析 （I）連結(jié)CM，利用EC是⊙O₁切線，可證明△ECA～△EAC，推出EC²=EA•EM；
（II）連結(jié)CB、DB，證明∠ECA=∠CBA，得到∠EDA=∠DBA，然后證明E、C、B、D四點共圓．

解答 證明：（I）連結(jié)CM，∵EC是⊙O₁切線，∴∠ECA=∠EMC，
∵∠CEM=∠AEC，∴△ECA～△EAC，
∴$\frac{EC}{EM}=\frac{EA}{EC}$，∴EC²=EA•EM；…（5分）
（II）連結(jié)CB、DB，∵EC是⊙O₁在C點的切線，
∴∠ECA=∠CBA，同理∠EDA=∠DBA，
∴∠DEC+∠CBD=∠DEC+（∠CBA+∠DBA）=∠DEC+（∠ECA+∠EDA）=180°，
∴E、C、B、D四點共圓．…（10分）

點評 本題考查三角形相似，圓的切線，四點共圓的判斷，考查推理能力．