Question

下列推理合理的命題個(gè)數(shù)是（　　）
①f（x）是增函數(shù)，則f′（x）＞0
②因?yàn)閍＞b（a，b∈R），則a+2i＞b+2i
③△ABC為銳角三角形，則sinA+sinB＞cosA+cosB
④直線l₁∥l₂，則k₁=k₂
⑤函數(shù)y=2x²-x⁴，則y有極大值為1，極小值為0．

• A、4
• B、2
• C、3
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓,數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：①f（x）是增函數(shù)，則f′（x）≥0，可判斷①錯(cuò)誤；
②依題意知，a+2i與b+2i均為虛數(shù)，而虛數(shù)不能比較大小，可判斷②錯(cuò)誤；
③利用三角函數(shù)的性質(zhì)可知，（sinA+sinB）-（cosA+cosB）=2cos

A-B

2

（sin

A+B

2

-cos

A+B

2

）＞0，可判斷③正確
④直線l₁∥l₂，則直線l₁與l₂的斜率不存在或k₁=k₂（且在y軸上的截距不相等），可判斷④錯(cuò)誤；
⑤利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)y=2x²-x⁴的極大值與極小值，從而可判斷⑤正確．

解答： 解：①f（x）是增函數(shù)，則f′（x）≥0，故①錯(cuò)誤；
②因?yàn)閍＞b（a，b∈R），∴a+2i與b+2i均為虛數(shù)，二者不能比較大小，故②錯(cuò)誤；
③△ABC為銳角三角形，故A∈（0，

π

2

）、B∈（0，

π

2

）、C=π-（A+B）∈（0，

π

2

），
所以，A+B∈（

π

2

，π），

A+B

2

∈（

π

4

，

π

2

），同理可得

A-B

2

∈（-

π

4

，

π

4

），
所以，sin

A+B

2

＞cos

A+B

2

＞0，cos

A-B

2

＞0，
所以（sinA+sinB）-（cosA+cosB）=2sin

A+B

2

cos

A-B

2

-2cos

A+B

2

cos

A-B

2

=2cos

A-B

2

（sin

A+B

2

-cos

A+B

2

）＞0，
所以，sinA+sinB＞cosA+cosB，故③正確；
④直線l₁∥l₂，則直線l₁與l₂的斜率不存在或k₁=k₂（且在y軸上的截距不相等），故④錯(cuò)誤；
⑤因?yàn)閥=2x²-x⁴，所以，y′=4x-4x³=4x（1-x）（1+x），
當(dāng)x＜-1或0＜x＜1時(shí)，y′＞0；當(dāng)-1＜x＜0或x＞1時(shí)，y′＜0，
所以，當(dāng)x=-1與x=1時(shí)，y=2x²-x⁴取得極大值均為1，當(dāng)x=0時(shí)，y=2x²-x⁴取得極小值均為0，故⑤正確；
綜上所述，推理合理的命題個(gè)數(shù)是2個(gè)，為③與⑤，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查三角函數(shù)的單調(diào)性與和差化積公式的應(yīng)用，考查推理及運(yùn)算能力，屬于難題．