Question

17．已知函數(shù)f（x）=ln（ex）-kx．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若?x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出x=$\frac{1}{k}$是函數(shù)的最大值點(diǎn)，得到f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk≤0，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{1}{x}$-k，
①若k＞0，x∈（0，$\frac{1}{k}$）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（$\frac{1}{k}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{k}$），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{k}$，+∞）；
②k≤0時(shí)，f′（x）=$\frac{1}{x}$-k＞0恒成立，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），
綜上①②知：k≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
k＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{k}$），單調(diào)遞減區(qū)間是（$\frac{1}{k}$，+∞）．
（2）由（1）知：k≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
且x→+∞時(shí)，f（x）→+∞（或f（1）=1-k＞0），
∴f（x）≤0恒成立是假命題；
當(dāng)k＞0時(shí)，由（Ⅰ）知：x=$\frac{1}{k}$是函數(shù)的最大值點(diǎn)，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{k}$）=-lnk≤0，
∴k≥1，
故k的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．