Question

14．如圖，水渠的橫斷面為等腰梯形，水的橫斷面面積為S，水面高為h，問(wèn)側(cè)面與地面所成角θ為多大時(shí)，橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度（稱為濕周）最�。坎⑶蟪鲎钚�濕周．

Answer 1

分析 設(shè)橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度為l，AB=CD=x，可得l=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）•$\frac{h}{sinθ}$，導(dǎo)數(shù)法求到唯一的極值即為所求．

解答 解：設(shè)橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度為l，AB=CD=x，
則l=BC+2x=$\frac{S}{h}$-xcosθ+2x=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）x
=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）•$\frac{h}{sinθ}$，
令l′=0，即$\frac{1-2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，解得cosθ=$\frac{1}{2}$，θ=60°，
∵l只有1個(gè)極值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
把θ=60°代入l=$\frac{S}{h}$-（2-cosθ）•$\frac{h}{sinθ}$可得l_min=$\frac{S}{h}$+$\sqrt{3}$h，
∴當(dāng)側(cè)面與地面所成角θ=60°時(shí)，橫斷面被水浸濕的長(zhǎng)度最小，且最小值為l_min=$\frac{S}{h}$+$\sqrt{3}$h，

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角形的邊角關(guān)系和函數(shù)的極值，屬中檔題．