Question

已知f（x）是定義域為（0，+∞）的函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）＜0，若對任意正實數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立，試判斷并證明函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能用定義法，所以需要將給的條件適當(dāng)變形，構(gòu)造出函數(shù)值的差的形式，再利用給的判斷符號的條件進行判斷．

解答： 解：該函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)．
證明：由f（xy）=f（x）+f（y）成立，得f（xy）-f（x）=f（y），令m=xy，n=x，則y=

m

n

，
則有f（m）-f（n）=f（

m

n

），
令0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
顯然0＜

x1

x2

＜1，又因為x∈（0，1）時，f（x）＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0，
所以f（x₁）＜f（x₂），
所以原函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．

點評：本題利用定義證明單調(diào)性時，利用“f（xy）=f（x）+f（y）”變換成“有f（m）-f（n）=f（

m

n

）”是解決本題的關(guān)鍵．