Question

已知橢圓M的離心率N，點F為橢圓的右焦點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，點M為橢圓的上頂點，且滿足A
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在直線B，當直線M交橢圓于P、Q兩點時，使點F恰為N的垂心？若存在，求出直線P方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得e=

2

2

，(

2

c-c)c=

2

-1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）假設存在直線l滿足條件，使F是三角形MPQ的垂心，設PQ的直線方程為y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

y=x+m x2 2 +y2=1

，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此利用根的判別式、韋達定理、向量知識結合已知條件能求出存在滿足條件的直線l的方程為x-y+1=0或3x-3y-4=0．

解答： 解：（Ⅰ）由e=

2

2

，得a=

2

c，
∵M（0，b），F(xiàn)（c，0），B（a，0），
∴

MF

•

FB

=(a-c)c=

2

-1，
∴(

2

c-c)c=

2

-1，解得c²=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）假設存在直線l滿足條件，使F是三角形MPQ的垂心，
∵k_MF=-1，且FM⊥l，∴k₁=1，
∴設PQ的直線方程為y=x+m，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

y=x+m x2 2 +y2=1

，得3x²+4mx+2m²-2=0，
△=16m²-12（2m²-2）＞0，m²＜3，
x1+x2=-

4m

3

，x₁x₂=

2m2-2

3

，
又F為△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴

PF

•

MQ

=0，
又

PF

=(1-x1，-y1)，

MQ

=(x2，y2-1)，
∴

PF

•

MQ

=x₂+y₁-x₁x₂-y₁y₂
=x₂+x₁+m-x₁x₂-y₁y₂
=-

4

3

m+m-

2m2-2

3

-

m2-2

3

=0，
∴-

m

3

-m2+

4

3

=0，
∴3m²+m-4=0，解得m=-

4

3

，或m=1，
經檢驗滿足m²＜3，
∴存在滿足條件的直線l的方程為x-y+1=0或3x-3y-4=0．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．