Question

【題目】已知：正三棱柱中， ， ， 為棱的中點(diǎn)．

（）求證： 平面．

（）求證：平面平面．

（）求四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）．

【解析】試題分析：

（1）要證線(xiàn)面平行，就是要證線(xiàn)線(xiàn)平行，考慮過(guò)直線(xiàn)的平面與平面的交線(xiàn)（其中是與的交點(diǎn)），而由中位線(xiàn)定理易得，從而得線(xiàn)面平行；

（2）由于是正三角形，因此有，從而只要再證與平面內(nèi)另一條直線(xiàn)垂直即可，這可由正棱柱的側(cè)棱與底面垂直得到，從而得線(xiàn)面垂直，于是有面面垂直；

（3）要求四棱錐的體積，由正三棱柱的性質(zhì)知中，邊的高就是四棱錐的高，再求得四邊形的面積，即可得體積．

試題解析：

（）證明：連接，交于點(diǎn)，連接，

∵在中，

， 分別是， 中點(diǎn)，

∴，

∵平面，

平面，

∴平面，

（）證明：∵在等邊中，

是棱中點(diǎn)，

∴，

又∵在正三棱柱中，

平面，

平面，

∴，

∵點(diǎn)，

， 平面，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面．

（）作于點(diǎn)，

∴是四棱錐高，

，

底面積，

．