Question

已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S(n)=(

1

3

)n-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項(xiàng)為c，且前n項(xiàng)和T（n）滿足T(n)-T(n-1)=

T(n)

+

T(n-1)

（n≥2）．
（1）設(shè)dn=

Tn

，求證數(shù)列{d_n}為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若數(shù)列{

1

bnbn+1

}前n項(xiàng)和為P（n），問P（n）＞

1000

2009

的最小正整數(shù)n是多少？．

Answer 1

分析：（1）由S(n)=(

1

3

)n-c得a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

，再由{a_n}是等比數(shù)列得

a

2 2

=a1a 3即(-

2

9

)2=(

1

3

-c)(-

2

27

)，由此能證明數(shù)列{d_n}為等差數(shù)列，并能求出其通項(xiàng)公式．
（2））由b₁=1，b_n=n²-（n-1）²=2n-1和{a_n}是等比數(shù)列，a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

，c=1，能導(dǎo)出b_n=2n-1，an=-

2

3n

．
（3）P(n)=

1

1•3

+

1

3•5

+

1

5•7

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

，由此能求出適合條件的最小正整數(shù)n的值為112．

解答：解：（1）由S(n)=(

1

3

)n-c得a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列得：

a

2 2

=a1a 3即(-

2

9

)2=(

1

3

-c)(-

2

27

)
所以c=1．（2分）
因?yàn)閎_n＞0所以T（n）＞0

T(n)

-

T(n-1)

=1，n≥2
即d（n）-d（n-1）=1，d（1）=1所以數(shù)列{d_n}為等差數(shù)列．d（n）=n，T（n）=n²（6分）
（2）∵b₁=1，b_n=n²-（n-1）²=2n-1，當(dāng)n=1時，2n-1=b₁，∴b_n=2n-1
∵{a_n}是等比數(shù)列，得a1=

1

3

-c，a2=-

2

9

，a3=-

2

27

，c=1，
∴an=-

2

3n

（10分）
（3）P(n)=

1

1•3

+

1

3•5

+

1

5•7

++

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)++(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

n

2n+1

（12分）
所以

n

2n+1

＞

1000

2009

n＞

1000

9

所以適合條件的最小正整數(shù)n的值為112．（15分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．