Question

3．某同學(xué)用《幾何畫板》研究拋物線的性質(zhì)：打開《幾何畫板》軟件，繪制某拋物線E：y²=2px，在拋物線上任意畫一個(gè)點(diǎn)S，度量點(diǎn)S的坐標(biāo)（x_S，y_S），如圖．
（Ⅰ）拖動(dòng)點(diǎn)S，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x_S=4時(shí)，y_S=4，試求拋物線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線E的頂點(diǎn)為A，焦點(diǎn)為F，構(gòu)造直線SF交拋物線E于不同兩點(diǎn)S、T，構(gòu)造直線AS、AT分別交準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，構(gòu)造直線MT、NS．經(jīng)觀察得：沿著拋物線E，無論怎樣拖動(dòng)點(diǎn)S，恒有MT∥NS．請(qǐng)你證明這一結(jié)論．
（Ⅲ）為進(jìn)一步研究該拋物線E的性質(zhì)，某同學(xué)進(jìn)行了下面的嘗試：在（Ⅱ）中，把“焦點(diǎn)F”改變?yōu)槠渌�“定點(diǎn)G（g，0）（g≠0）”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)“MT與NS不再平行”．是否可以適當(dāng)更改（Ⅱ）中的其它條件，使得仍有“MT∥NS”成立？如果可以，請(qǐng)寫出相應(yīng)的正確命題；否則，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把x_S=4，y_S=4代入y²=2px，得p，即可求出拋物線E的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：my=x-1，代入拋物線方程，求出M，N的坐標(biāo)，可得$\overrightarrow{MT}$、$\overrightarrow{NS}$的坐標(biāo)，證明$\overrightarrow{MT}$∥$\overrightarrow{NS}$，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）設(shè)拋物線E：y²=4x的頂點(diǎn)為A，定點(diǎn)G（g，0）（g≠0），過點(diǎn)G的直線l與拋物線E相交于S、T兩點(diǎn)，直線AS、AT分別交直線x=-g于M、N兩點(diǎn)，則MT∥NS．

解答 解：（Ⅰ）把x_S=4，y_S=4代入y²=2px，得p=2，…（3分）
因此，拋物線E的方程y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)閽佄锞�E的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），
依題意可設(shè)直線l：my=x-1，
代入拋物線方程得y²-4my-4=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4 ①…（6分）
又因?yàn)閘_AS：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•x，l_AT：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$•x，
所以M（-1，-$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），N（-1，-$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$），
所以$\overrightarrow{MT}$=（x₂+1，y₂+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$），$\overrightarrow{NS}$=（x₁+1，y₁+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$），…（7分）
又因?yàn)椋▂₂+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$）（x₁+1）-（y₁+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）（x₂+1），…（8分）
=（y₁-y₂）（$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-16}{4{y}_{1}{y}_{2}}$），②
把①代入②，得（y₁-y₂）（$\frac{{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-16}{4{y}_{1}{y}_{2}}$）=0，…（10分）
即（y₂+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$）（x₁+1）-（y₁+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$）（x₂+1）=0，
所以$\overrightarrow{MT}$∥$\overrightarrow{NS}$，
又因?yàn)镸、T、N、S四點(diǎn)不共線，所以MT∥NS．…（11分）
（Ⅲ）設(shè)拋物線E：y²=4x的頂點(diǎn)為A，定點(diǎn)G（g，0）（g≠0），過點(diǎn)G的直線l與拋物線E相交于S、T兩點(diǎn)，直線AS、AT分別交直線x=-g于M、N兩點(diǎn)，則MT∥NS．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想等．