(2012•青州市模擬)給出下列六個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=lnx-2+x在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn);
②若f′(x0)=0,則函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值;
③若m≥-1,則函數(shù)y=log
1
2
(x2-2x-m)
的值域?yàn)镽;
④“a=1”是“函數(shù)f(x)=
a-ex
1+aex
在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件.
⑤函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l-x)的圖象關(guān)于y軸對稱;
⑥滿足條件AC=
3
,∠B=60°
,AB=1的三角形△ABC有兩個(gè).
其中正確命題的個(gè)數(shù)是
①③④⑤
①③④⑤
分析:根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得①正確. 通過舉反例可得②不正確.
根據(jù)對數(shù)的真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù),可得此對數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽,故③正確.
根據(jù)a=1時(shí),函數(shù)在定義域上是奇函數(shù),再根據(jù)函數(shù)f(x)=
a-ex
1+aex
在定義域上是奇函數(shù)時(shí),a=±1,可得④正確.
由函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l-x)的圖象關(guān)于y軸對稱,可得⑤正確.
由AC=
3
,∠B=60°
,AB=1,利用正弦定理及由大邊對大角可得△ABC是一個(gè)唯一的直角三角形,故⑥不正確.
解答:解:對于函數(shù)f(x)=lnx-2+x,在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增,f(1)=-1,f(e)=e-1>0,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
可得,在區(qū)間(1,e)上存在零點(diǎn),故①正確.
②不正確,如當(dāng)f(x)=x3時(shí),顯然滿足f′(0)=0,但y=f(x)=x3 在x=0處沒有極值.
③當(dāng) m≥-1,函數(shù)y=log
1
2
(x2-2x-m)
的真數(shù)為 x2-2x-m,判別式△=4+4m≥0,故真數(shù)可取遍所有的正實(shí)數(shù),
故函數(shù)y=log
1
2
(x2-2x-m)
的值域?yàn)镽,故③正確.
④由a=1可得f(x)=
1-ex
1+ex
,定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(-x)=
1-e-x
1+e-x
=
ex-1
ex+1
=-f(x),故函數(shù)在
定義域上是奇函數(shù),故充分性成立.
若函數(shù)f(x)=
a-ex
1+aex
在定義域上是奇函數(shù),則有f(0)=0,或f(0)不存在,∴a=1,或a=-1,故不能推出a=1.
故必要性不成立,故④正確.
⑤在函數(shù)y=f(1+x)的圖象上任意取一點(diǎn)(a,f(1+a)),則點(diǎn)(a,f(1+a))關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為
(-a,f(1-a)),故函數(shù)y=f(1+x)的圖象與函數(shù)y=f(l-x)的圖象關(guān)于y軸對稱,故⑤正確.
⑥△ABC中,由AC=
3
,∠B=60°
,AB=1,利用正弦定理求得sinC=
1
2
,再由大邊對大角可得C=30°,∴B=90°,
△ABC是一個(gè)唯一的直角三角形,故⑥不正確.
故答案為 ①③④⑤.
點(diǎn)評:本題主要考查命題的真假的判斷,通過舉反例來說明某個(gè)命題不正確,是一種簡單有效的方法,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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(2012•青州市模擬)已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a∈R).
(Ⅰ) 若a>0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的斜率是1,問:m在什么范圍取值時(shí),對于任意的t∈[1,2],函數(shù)g(x)=x3+x2[
m2
+f′(x)]在區(qū)間(t,3)上總存在極值?

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4
5
,第二、第三種產(chǎn)品受歡迎的概率分別為p,q(p>q),且不同種產(chǎn)品是否受歡迎相互獨(dú)立.記ξ為公司向市場投放三種新型產(chǎn)品受歡迎的數(shù)量,其分布列為
ξ 0 1 2 3
p
2
45
a d
8
45
(1)求該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率;
(2)求p,q的值;
(3)求數(shù)學(xué)期望Eξ.

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(2012•青州市模擬)在一次演講比賽中,10位評委對一名選手打分的莖葉圖如圖所示,若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分,得到一組數(shù)據(jù)xi(1≤i≤8),在如圖所示的程序框圖中,
.
x
是這8個(gè)數(shù)據(jù)中的平均數(shù),則輸出的S2的值為
15
15

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(2012•青州市模擬)若復(fù)數(shù)
a-3i1+2i
(a∈R,i為虛數(shù)單位)
是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a=
6
6

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