Question

（2012•青州市模擬）某公司向市場投放三種新型產(chǎn)品，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)第一種產(chǎn)品受歡迎的概率為

4

5

，第二、第三種產(chǎn)品受歡迎的概率分別為p，q（p＞q），且不同種產(chǎn)品是否受歡迎相互獨(dú)立．記ξ為公司向市場投放三種新型產(chǎn)品受歡迎的數(shù)量，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	2 45	a	d	8 45

（1）求該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率；
（2）求p，q的值；
（3）求數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：設(shè)事件A_i表示“該公司第i種產(chǎn)品受歡迎”，i=1，2，3，由題意知P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=p，P（A₃）=q
（1）求出對立事件“ξ=0”的概率，即可得到該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率；
（2）求出ξ=0，3的概率，利用p+q=1，即可求p，q的值；
（3）求出概率，利用期望公式，即可求得期望．

解答：解：設(shè)事件A_i表示“該公司第i種產(chǎn)品受歡迎”，i=1，2，3，由題意知P（A₁）=

4

5

，P（A₂）=p，P（A₃）=q
（1）由于事件“該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎”與事件“ξ=0”是對立的，所以該公司至少有一種產(chǎn)品受歡迎的概率是1-P(ξ=0)=1-

2

45

=

43

45

，
（2）由題意知P(ξ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=

1

5

(1-p)(1-q)=

2

45

，P（ξ=3）=P（A₁A₂A₃）=

4

5

pq=

8

45

，整理得pq=

2

9

且p+q=1，由p＞q，可得p=

2

3

，q=

1

3

．
（3）由題意知a=P（ξ=1）=

4

5

(1-p)(1-q)+

1

5

p(1-q)+

1

5

(1-p)q=

13

45

，
d=P(ξ=2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)-P(ξ=3)=

22

45

因此Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+3×P(ξ=3)=

27

15

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算，考查數(shù)學(xué)期望，解題的關(guān)鍵是確定概率，屬于中檔題．