Question

下面有四個(gè)命題：
①若，為一平面內(nèi)兩非零向量，則⊥是|+|=|-|的充要條件；
②一平面內(nèi)兩條曲線的方程分別是f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0，它們的交點(diǎn)是P（x，y），則方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲線經(jīng)過點(diǎn)P；
③經(jīng)過一定點(diǎn)且和一條已知直線垂直的所有直線都在同一平面內(nèi)；
④=2，則b=-1．
其中真命題的序號(hào)是     （把符合要求的命題序號(hào)都填上）

Answer 1

【答案】分析：①由|+|=|-|平方，化簡(jiǎn)可得⊥；②把點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)代入方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0可得證；③用反證法可證；④把b=-1代入驗(yàn)證，可證．
解答：解：①充分性：|+|=，|-|=
∵|+|=|-|∴
即
∴⊥；必要性：∵⊥；∴
∴
∴|+|=|-|
②∵點(diǎn)P（x，y）是曲線f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0的交點(diǎn)
∴f₁（x，y）=0，f₂（x，y）=0
∴f₁（x，y）+f₂（x，y）=0
即方程f₁（x，y）+f₂（x，y）=0的曲線經(jīng)過點(diǎn)P；
③假設(shè)點(diǎn)P，直線l，過P點(diǎn)有PA，PB，…，PN都垂直直線l．
求證：PA，PB，…，PN都在同一平面內(nèi)．
證明：∵PA∩PB=P，且PA⊥l，PB⊥l
∴l(xiāng)⊥面PAB．
設(shè)過點(diǎn)P的直線PN⊥l
且PN不在面PAB內(nèi)
∵PA∩PN=P，且PA⊥l，PN⊥l
∴l(xiāng)⊥面PAN．
則過點(diǎn)P有兩個(gè)平面和l垂直
這與過一點(diǎn)只能有一個(gè)平面和一條直線垂直矛盾
∴假設(shè)PN不在面PAB內(nèi)錯(cuò)誤，原命題成立．
④若b=-1則
∵=2，∴b=-1
點(diǎn)評(píng)：解決有關(guān)向量模有關(guān)命題，平方是有效的解決策略和方法，證明兩個(gè)向量垂直等價(jià)于它們的數(shù)量積為0；點(diǎn)的坐標(biāo)是曲線方程的解，則點(diǎn)就在該曲線上；反證法證明問題的步驟和方法．屬基礎(chǔ)題．