Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：BF∥平面A₁EC；
（2）若AB=AA₁=2，求點(diǎn)A到平面A₁EC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接A₁C與AC₁交于點(diǎn)O，連接OF，由已知得四邊形BEOF是平行四邊形，從而BF∥OE，由此能證明BF∥平面A₁EC．
（2）由已知得BF⊥AC，OE⊥AC，OE⊥AA₁，從而OE⊥平面A₁AC，進(jìn)而OA⊥OE，由ACC₁A₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，得AO⊥A₁C，從而A₁C是點(diǎn)A到平面A₁EC的距離，由此能求出點(diǎn)A到平面A₁EC的距離．

解答： （1）證明：連接A₁C與AC₁交于點(diǎn)O，連接OF，
∵F為AC的中點(diǎn)，∴OF∥C₁C且OF=

1

2

C₁C，
∵E為BB₁的中點(diǎn)，∴BE∥C₁C且BE=

1

2

C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四邊形BEOF是平行四邊形，∴BF∥OE，
∵BF?平面A₁EC，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．

（2）解：∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，
∴BF⊥AC，
由（1）知BF∥OE，∴OE⊥AC，
∵AA₁⊥底面ABC，BF?底面ABC，∴AA₁⊥BF，
∵BF∥OE，∴OE⊥AA₁，
∵AA₁∩AC=A，∴OE⊥平面A₁AC，
∵OA?面A₁AC，∴OA⊥OE，
又正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，
∴ACC₁A₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴AO⊥A₁C，
又A₁C∩OE=O，∴AO⊥平面A₁EC，
∴A₁C是點(diǎn)A到平面A₁EC的距離，
∵ACC₁A₁是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴A₁C=

1

2

22+22

=

2

．
∴點(diǎn)A到平面A₁EC的距離為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．