Question

在二項(xiàng)式(

x

+

3

x

)n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為A，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為B，且A+B=72，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（　�。�

• A、6
• B、9
• C、12
• D、18

Answer 1

分析：通過給x 賦值1得各項(xiàng)系數(shù)和，據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式求出B，列出方程求出n，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0得常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：在二項(xiàng)式(

x

+

3

x

)n的展開式中，
令x=1得各項(xiàng)系數(shù)之和為4ⁿ
∴A=4ⁿ
據(jù)二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ
∴B=2ⁿ
∴4ⁿ+2ⁿ=72解得n=3
∴(

x

+

3

x

)n=(

x

+

3

x

)3的展開式的通項(xiàng)為Tr+!=

C

r 3

(

x

)3-r(

3

x

)r=3r

C

r 3

x

3-3r

2

令

3-3r

2

=0得r=1
故展開式的常數(shù)項(xiàng)為T₂=3C₃¹=9
故選項(xiàng)為B

點(diǎn)評：本題考查求展開式各項(xiàng)系數(shù)和的方法是賦值法；考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具．