Question

17．已知x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{5x+3y≤15}\\{y≤x+1}\\{x-5y≤3}\end{array}\right.$，求z=3x+5y的最大值和最小值．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到最大值和最小值．

解答 解：不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=3x+5y得y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，
平移直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$，則由圖象可知當(dāng)直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)直線y=$-\frac{3}{5}$$x+\frac{z}{5}$的截距最大，
此時(shí)z最大，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{5x+3y=15}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
此時(shí)最大值z(mì)=3×$\frac{3}{2}$+5×$\frac{5}{2}$=17，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{x-5y=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，即B（-2，-1），
此時(shí)最小值z(mì)=3×（-2）+5×（-1）=-11．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．