Question

已知為常數(shù)，且，函數(shù)，

（是自然對數(shù)的底數(shù)）．

（1）求實數(shù)的值；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）當(dāng)時，是否同時存在實數(shù)和（），使得對每一個，直線與曲線都有公共點？若存在，求出最小的實數(shù)和最大的實數(shù)；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；(3) 當(dāng)時，存在實數(shù)和，使得對每一個，直線與曲線都有公共點，可得.

【解析】

試題分析：(1) 由可解得的值；（2）對函數(shù)求導(dǎo)可得，對進行討論，解，分別可得單調(diào)遞增與遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時，，求出導(dǎo)數(shù)判斷在的變化情況，得在區(qū)間內(nèi)值域為，假設(shè)存在題目中要求的點，那么每一個，直線與曲線都沒有公共點．

【解析】
(1)由，得； 2分

（2）由（Ⅰ），．定義域為． .3分

從而， ..4分

因為，所以

當(dāng)時，由得，由得；5分

當(dāng)時，由得，由得；6分

因而，　當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為， ..7分

當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為． .8分

(3)當(dāng)時，．．令，則．

當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時，，的變化情況如下表：

		單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

10分

因為，所以在區(qū)間內(nèi)值域為． .11分

由此可得，

若，則對每一個，直線與曲線都有公共點， .12分

并且對每一個，直線與曲線都沒有公共點． .13分

綜合以上，當(dāng)時，存在實數(shù)和，使得對每一個，直線與曲線都有公共點． .14分

考點：1.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用；2.運算求解能力.