Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁＞0，S₁，S₂，S₃成等差數(shù)列，16是a₂和a₈的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列{b_n}中，b₁=1，前9項(xiàng)和等于27，令c_n=2a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）直接利用前n項(xiàng)和公式及等比中項(xiàng)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步利用乘公比錯(cuò)位相減法求出新數(shù)列的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，a₁＞0，S₄，S₂，S₃成等差數(shù)列，
則：2S₂=S₃+S₄
2

a1(1-q2)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q4)

1-q

解得：q=-2或1（舍去）
由于：16是a₂和a₈的等比中項(xiàng)
a2a8=162
解得：a₁=1
所以：an=a1qn-1=(-2)n-1
（Ⅱ）等差數(shù)列{b_n}中，設(shè)公差為d，b₁=1，前9項(xiàng)和等于27．
則：S9=9b1+

9×8

2

d=27
解得：d=

1

2

所以：bn=

n+1

2

令c_n=2a_nb_n=2(-2)n-1

n+1

2

=（n+1）（-2）^n-1
T_n=c₁+c₂+…+c_n-1+c_n=2•（-2）⁰+3•（-2）¹+…+（n+1）（-2）^n-1①
-2T_n=2•（-2）¹+3•（-2）²+…+（n+1）（-2）ⁿ②
①-②得：3Tn=2+[(-2)1+(-2)2+…+(-2)n-1]-（n+1）（-2）ⁿ
解得：Tn=

4

9

-

n

9

(-2)n

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，利用乘公比錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和及相關(guān)的運(yùn)算問題