Question

已知函數(shù)f（x）=

2

3

x³-

1

2

ax²+x+2．
（Ⅰ）若f（x）在R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若?α∈（

π

4

，

π

2

）使f′（sinα）=f′（cosα）成立．求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，再由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，只要令判別式不大于0，即可得到；
（Ⅱ） 由于f′（x）=2x²-ax+1關(guān)于x=

a

4

對稱，再由條件可得

a

4

=

sinα+cosα

2

，運(yùn)用三角函數(shù)的兩角正弦公式和正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍．

解答： 解：（Ⅰ） f′（x）=2x²-ax+1，
由于f（x）在R上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0在R上恒成立，
則有△≤0，即a²-8≤0，
解得-2

2

≤a≤2

2

；
（Ⅱ） 由于f′（x）=2x²-ax+1關(guān)于x=

a

4

對稱，
又α∈(

π

4

，

π

2

)，sinα＞cosα，
?α∈（

π

4

，

π

2

）使f′（sinα）=f′（cosα）成立，
則

a

4

=

sinα+cosα

2

，
即a=2（sinα+cosα）=2

2

sin(α+

π

4

)，
由于α∈(

π

4

，

π

2

)，則

π

2

＜α+

π

4

＜

3π

4

，
則

2

2

＜sin(α+

π

4

)＜1，
故有a∈(2，2

2

)．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)性，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，屬于中檔題．