Question

某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為，中獎可以獲得2分；方案乙的中獎率為，中獎可以獲得3分；未中獎則不得分．每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，晚會結束后憑分數(shù)兌換獎品．

（Ⅰ）張三選擇方案甲抽獎，李四選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，若X≤3的概率為，求；

（Ⅱ）若張三、李四兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，問：他們選擇何種方案抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大？

Answer 1

【解析】（Ⅰ）由已知得，張三中獎的概率為，李四中獎的概率為，且兩人中獎與否互不影響．

記“這2人的累計得分X≤3”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝5”，

因為P(X＝5)＝×，所以P (A)＝1－P(X＝5)＝1－×=，所以  .……6分

（Ⅱ）設張三、李四都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為X₁，都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為X₂，

則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(2X₁)，

選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學期望為E(3X₂)．

由已知可得，X₁～B，X₂～B，

所以E(X₁)＝2×＝，E(X₂)＝2×，

從而E(2X₁)＝2E(X₁)＝，E(3X₂)＝3E(X₂)＝6.

若E(2X₁)  E(3X₂)，則6；

若E(2X₁)  E(3X₂)，則6；

若E(2X₁)  E(3X₂)，則=6；

綜上所述，當時，他們都選擇方案甲進行抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大；當時，他們都選擇方案乙進行抽獎，累計得分的數(shù)學期望較大；當時，他們選擇方案甲或方案乙進行抽獎，累計得分的數(shù)學期望相等…………13分