Question

13．已知雙曲線Γ：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，斜率為$\sqrt{3}$的直線，經(jīng)過雙曲線Γ的右焦點(diǎn)F₂與雙曲線Γ在第一象限交于點(diǎn)P，若△PF₁F₂是等腰三角形，則雙曲線Γ的離心率為$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由題可知，等腰三角形的底為PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論．

解答 解：由題可知，等腰三角形的底為PF₁，等腰三角形的腰F₁F₂=PF₂=2c，
∴P（2c，$\sqrt{3}$c）
代入雙曲線方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{^{2}}=1$，
∴4e⁴-8e²+1=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查求雙曲線的離心率，考查分析問題、解決問題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．