Question

已知函數(shù)f（x）=1nx，若x₁，x₂∈（0，

1

e

）且x₁＜x₂，則下述結(jié)論中正確的命題序號是：

 

．
①（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0          
②f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

③x₁f（x₂）＞x₂f（x₁）                   
④x₂f（x₂）＞x₁f（x₁）

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷①，根據(jù)f（x）=lnx的增長速度較慢，圖象是下凹型的判斷②，構(gòu)造函數(shù)

f(x)

x

，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)判斷③④．

解答： 解：∵f（x）=lnx，在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，
∵x₂＞x₁＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，故①不正確．
由于已知函數(shù)f（x）=lnx的增長速度較慢，圖象是下凹型的，故有f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

，故②不正確．
∵f（x）=1nx，若x₁，x₂∈（0，

1

e

）且x₁＜x₂，
∴[

f(x)

x

]′=

xf′(x)-f(x)

x2

=

1-lnx

x2

＞0，
∴函數(shù)

f(x)

x

在（0，

1

e

）上是增函數(shù)，
故有

f(x2)

x2

＞

f(x1)

x1

∴x₁•f（x₂）＞x₂•f（x₁），故③正確，
∵f（x）=1nx，若x₁，x₂∈（0，

1

e

）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）＜f（x₂）＜-1，
∴x₁f（x₁）＜x₁f（x₂），x₂f（x₁）＜x₂f（x₂），
由x₁•f（x₂）＞x₂•f（x₁），故④不正確，
故答案為：③

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力．