Question

如圖，已知在拋物線y²=4x上有三個點(diǎn)A，B，C恰好構(gòu)成等腰直角三角形，且點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，A，B，C按逆時針排列，設(shè)直線AB的斜率為a（a＞0）．
（Ⅰ）求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)a變化時，求△ABC的面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出A，B，C的坐標(biāo)，代入拋物線發(fā)現(xiàn)，利用AB|=|BC|，即可求頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）表示出△ABC的面積，利用基本不等式求△ABC的面積的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
∵a＞0，∴BC的斜率為-

1

a

，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）代入拋物線方程，整理可得
y₂+y₃=-4a，y₁+y₂=

4

a

，
∴y₃=-4a-y₂，y₁=

4

a

-y₂，
∵|AB|=|BC|，
∴

1+ 1 a2

（y₁-y₂）=

1+a2

（y₂-y₃），
∴y₂=

2(1-a3)

a(1+a)

，
∴x₂=

(1-a3)2

a2(1+a)2

，
∴B（

(1-a3)2

a2(1+a)2

，

2(1-a3)

a(1+a)

）；
（Ⅱ）根據(jù)對稱性S=

1

2

|CB|²=

1

2

1+a2

[4a+4×

1-a3

a(1+a)

]²，
∴

S

=2

2

×

1+a2

×[a+

1-a3

a(1+a)

]=2

2

×

1+a2

1+a

×

1+a2

a

≥2

2

×

2a

a

×

(1+a)2 2

a+1

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=1時取得最小值為4．

點(diǎn)評：本題考查拋物線方程，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．