Question

若實數(shù)a、b、c、d滿足（b-lna）²+（c-d+2）²=0，則（a-c）²+（b-d）²的最小值為（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  1

  2

• C、2
• D、

  9

  2

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,點到直線的距離公式

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由題設條件：b-lna=0，設b=y，a=x，得到y(tǒng)=lnx；c-d+2=0，設c=x，d=y，得到y(tǒng)=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

解答：解：∵（b-lna）²+（c-d+2）²=0，
∴b-lna=0且c-d+2=0，
即b=lna，c-d+2=0，
設y=lnx，y=x+2，
∴（a-c）²+（b-d）²就是曲線y=lnx與直線y=x+2之間的最小距離的平方值，
對曲線y=lnx求導：y′=

1

x

，
與直線y=x+2平行的切線斜率k=1=

1

x

，
解得：x=1，
將x=1代入y=lnx得：y=0，即切點坐標為（1，0），
∴切點到直線y=x+2的距離d=

1-0+2

2

=

3 2

2

，即d²=

9

2

，
則（a-c）²+（b-d）²的最小值為

9

2

．
故選：D．

點評：此題考查導數(shù)在求解函數(shù)最值中的應用，以及對數(shù)運算法則的應用，解題時要注意點到直線的距離公式的合理運用以及轉(zhuǎn)化思想的應用．